Pembuktian A sin x + B cos x = k cos (x - a)

 Penyelesaian persamaan $A \,sin\, x + B\, cos\, x$

 Persamaan $A\,sin \,x \, +\, B\, cos\,x$ dapat di ubah menjadi  $k cos (x-\alpha )$, sehingga $A \; sin x+ B \; cos x = k \, cos \, (x-\alpha )$

Pembuktian:

\(\begin{array}{rcl}A\, sin\,x +\,B\,cos \,x&=&k \, cos \, (x-\alpha )\\A\, sin\,x +\,B\,cos \,x&=&k \left (  cos\,x\,cos\alpha+sin\,x\,sin\,\alpha  \right )\\A\, sin\,x +\,B\,cos \,x&=&k\left (  cos\,x\,cos\alpha\right )+k \left ( sin\,x\,sin\,\alpha  \right)\\A\, sin\,x +\,B\,cos \,x&=&k \,cos\,x\,cos\,\alpha+k \,sin\,x\,sin\,\alpha\\\end{array}\)

Dari bentuk kesamaan tersebut maka:

$A\, sin\,x =k \,sin\,x\,sin\,\alpha$ diperoleh $A = k\, sin \,\alpha$ →$A^2 = k^2\, sin^2 \,\alpha$ .............................................. (1)

$B\, cos\,x =k \,cos\,x\,cos\,\alpha$ diperoleh $B = k\, cos \,\alpha$→$B^2 = k^2\, cos^2 \,\alpha$ .............................................. (2)

Dengan menjumlahkan (1) dan (2) diperoleh:

\(\begin{array}{rcl}A^2 + B^2 &=& k^2\, sin^2 \,\alpha + k^2 cos^2 \alpha\\A^2 + B^2 &=& k^2\left (sin^2 \,\alpha + cos^2 \alpha  \right )\\A^2 + B^2 &=& k^2\left (1 \right )\\A^2 + B^2 &=& k^2\\\sqrt{A^2 + B^2} &=&k\\\end{array}\)

Dengan membagikan (1) dan (2) diperoleh:

\(\frac{A}{B}=\frac{sin\,\alpha }{cos\, \alpha }=tan\,\alpha \)

Dengan demikian terbukti bahwa:

$A \; sin x+ B \; cos x = k \, cos \, (x-\alpha )$

Limit Tak Hingga Fungsi Aljabar

Limit tak Hingga Fungsi Aljabar

Bentuk 1: \(\displaystyle \lim_{ x\to \infty }\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r}=...\)

Penyelesaian:

\(\begin{array}{rcl}&=&\displaystyle \lim_{ x\to \infty}\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r}\times \left (\frac{\sqrt{ax^2+bx+c}+\sqrt{px^2+qx+r}}{\sqrt{ax^2+bx+c}+\sqrt{px^2+qx+r}}\right )\\&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{\left ( ax^2+bx+c \right )-\left ( px^2+qx+r \right )}{\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r}}\\&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{(a-p)x^2+(b-q)x+(c-r)}{\sqrt{ax^2+bx+c}+\sqrt{px^2+qx+r}} \end{array}\)

Bila $a = p$

\(\begin{array}{rcl}&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{(a-a)x^2+(b-q)x+(c-r)}{\sqrt{ax^2+bx+c}+\sqrt{ax^2+qx+r}} \\&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{(b-q)x+(c-r)}{\sqrt{ax^2+bx+c}+\sqrt{ax^2+qx+r}}\\&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{(b-q)}{2\sqrt{a}}\end{array}\)

Bila $a > p$

\(\begin{array}{rcl}&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{(a-p)x^2+(b-q)x+(c-r)}{\sqrt{ax^2+bx+c}+\sqrt{px^2+qx+r}} \\&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{kx^2+(b-q)x+(c-r)}{\sqrt{ax^2+bx+c}+\sqrt{px^2+qx+r}}\\&=&\infty\end{array}\)

Bila $a < p$

\(\begin{array}{rcl}&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{(a-p)x^2+(b-q)x+(c-r)}{\sqrt{ax^2+bx+c}+\sqrt{px^2+qx+r}} \\&=&\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{-kx^2+(b-q)x+(c-r)}{\sqrt{ax^2+bx+c}+\sqrt{px^2+qx+r}}\\&=&-\infty\end{array}\)

Bentuk 2:\(\displaystyle \lim_{ x\to \infty }\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}-\sqrt[3]{px^3+qx^2+rx+s}=...\)

Penyelesaian:

\(\begin{array}{rcl}&=&\displaystyle \lim_{ x\to \infty}\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}-\sqrt[3]{px^3+qx^2+rx+s}\times \left ( \frac{\sqrt[3]{\left ( ax^3+bx^2+cx+d \right )^{2}}+\sqrt[3]{\left ( ax^3+bx^2+cx+d \right ){\left ( px^3+qx^2+rx+s \right )}}+\sqrt[3]{\left ( px^3+qx^2+rx+s \right )^{2}}}{\sqrt[3]{\left ( ax^3+bx^2+cx+d \right )^{2}}+\sqrt[3]{\left ( ax^3+bx^2+cx+d \right )\left ( px^3+qx^2+rx+s \right )}+\sqrt[3]{\left ( px^3+qx^2+rx+s \right )^{2}}} \right )\\&=&\displaystyle \lim_{ x\to \infty}\frac{\left ( ax^3+bx^2+cx+d \right )-\left ( px^3+qx^2+rx+s \right )}{\sqrt[3]{(ax^3+bx^2+cx+d)^{2}}+\sqrt[3]{(ax^3+bx^2+cx+d)(px^3+qx^2+rx+s)}+\sqrt[3]{(px^3+qx^2+rx+s)^{2}}}\\&=&\displaystyle \lim_{ x\to \infty}\frac{(a-p)x^3+(b-q)x^2+(c-r)x+(d-s) }{\sqrt[3]{(ax^3+bx^2+cx+d)^{2}}+\sqrt[3]{(ax^3+bx^2+cx+d)(px^3+qx^2+rx+s)}+\sqrt[3]{(px^3+qx^2+rx+s)^{2}}} \end{array}\)

Bila $a = p$

\(\begin{array}{rcl}&=&\displaystyle \lim_{ x\to \infty}\frac{(a-a)x^3+(b-q)x^2+(c-r)x+(d-s) }{\sqrt[3]{(ax^3+bx^2+cx+d)^{2}}+\sqrt[3]{(ax^3+bx^2+cx+d)(ax^3+qx^2+rx+s)}+\sqrt[3]{(ax^3+qx^2+rx+s)^{2}}}\\&=&\displaystyle \lim_{ x\to \infty}\frac{(b-q)x^2+(c-r)x+(d-s) }{\sqrt[3]{(ax^3)^{2}}+\sqrt[3]{(ax^3)(ax^3)}+\sqrt[3]{(ax^3)^{2}}}\\&=&\displaystyle \lim_{ x\to \infty}\frac{(b-q)x^2+(c-r)x+(d-s) }{\sqrt[3]{(a^2x^6)}+\sqrt[3]{(a^2x^6)}+\sqrt[3]{(a^2x^6)}}\\&=&\displaystyle \lim_{ x\to \infty}\frac{(b-q)x^2+(c-r)x+(d-s) }{\sqrt[3]{(a)^{2}}x^2+\sqrt[3]{(a)^{2}}x^2+\sqrt[3]{(a)^{2}}x^2} \\&=&\displaystyle \lim_{ x\to \infty}\frac{(b-q)x^2+(c-r)x+(d-s) }{3\sqrt[3]{a^{2}}x^2}\\&=&\frac{b-q }{3\sqrt[3]{a^{2}}} \end{array}\)

Bila $a > p$

\(\begin{array}{rcl}&=&\displaystyle \lim_{ x\to \infty}\frac{(a-p)x^3+(b-q)x^2+(c-r)x+(d-s) }{\sqrt[3]{(ax^3+bx^2+cx+d)^{2}}+\sqrt[3]{(ax^3+bx^2+cx+d)(px^3+qx^2+rx+s)}+\sqrt[3]{(px^3+qx^2+rx+s)^{2}}}\\&=&\displaystyle \lim_{ x\to \infty}\frac{kx^3+(b-q)x^2+(c-r)x+(d-s) }{\sqrt[3]{(ax^3+bx^2+cx+d)^{2}}+\sqrt[3]{(ax^3+bx^2+cx+d)(ax^3+qx^2+rx+s)}+\sqrt[3]{(ax^3+qx^2+rx+s)^{2}}}\\&=&\displaystyle \lim_{ x\to \infty}\frac{kx^3+(b-q)x^2+(c-r)x+(d-s) }{lx^2}\\&=&\displaystyle \lim_{ x\to \infty}\frac{kx^3 }{lx^2}\\&=&\infty \end{array}\)

Bila $a < p$

\(\begin{array}{rcl}&=&\displaystyle \lim_{ x\to \infty}\frac{(a-p)x^3+(b-q)x^2+(c-r)x+(d-s) }{\sqrt[3]{(ax^3+bx^2+cx+d)^{2}}+\sqrt[3]{(ax^3+bx^2+cx+d)(px^3+qx^2+rx+s)}+\sqrt[3]{(px^3+qx^2+rx+s)^{2}}}\\&=&\displaystyle \lim_{ x\to \infty}\frac{-kx^3+(b-q)x^2+(c-r)x+(d-s) }{\sqrt[3]{(ax^3+bx^2+cx+d)^{2}}+\sqrt[3]{(ax^3+bx^2+cx+d)(ax^3+qx^2+rx+s)}+\sqrt[3]{(ax^3+qx^2+rx+s)^{2}}}\\&=&\displaystyle \lim_{ x\to \infty}\frac{-kx^3+(b-q)x^2+(c-r)x+(d-s) }{lx^2}\\&=&\displaystyle \lim_{ x\to \infty}\frac{-kx^3 }{lx^2}\\&=&-\infty \end{array}\)

Bentuk $(a+b)^n$

Buktikan bahwa \[\large \begin{align*} a^2+b^2=(a+b)^2-2ab \end{align*}\]

Penyelesaian:

\[\large \large \begin{align*} (a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\\ &=a^2+b^2+2ab\\ (a+b)^2&-2ab=a^2+b^2 \end{align*}\]

Terbukti bahwa  \[\large \large \begin{align*}\color{Orange}{ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab} \end{align*}\]

Buktikan bahwa \[\large \begin{align*} a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b) \end{align*}\]

Penyelesaian:

\[\large \large \begin{align*} (a+b)^3&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\ &=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2\\ &=a^3+b^3+3ab(a+b)\\ (a+b)^3&-3ab(a+b)=a^3+b^3 \end{align*}\]

Terbukti bahwa  \[\large \large \begin{align*}\color{DarkRed}{ a^3+b^3= (a+b)^3-3ab(a+b)}\end{align*}\]

Buktikan bahwa \[\large \begin{align*} a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc) \end{align*}\]

Penyelesaian:

\[\large \begin{align*} (a+b+c)^2&=(a+\left (b+c \right )^2\\ &=a^2+2a(b+c)+(b+c)^2\\ &=a^2+2ab+2ac+b^2+2bc+c^2\\ &=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\\ &=a^2+b^2+c^2+2\left (ab+ac+bc \right )\\ (a+b+c)^2&-2\left (ab+ac+bc \right )=a^2+b^2+c^2\\ \end{align*}\]

Terbukti bahwa \[\large \large \begin{align*} \color{DarkGreen} {a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)}\end{align*}\]

Buktikan bahwa \[\large \begin{align*} a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(a+c)(b+c)\\ \end{align*}\]

Penyelesaian:

 \[\large \begin{align*} (a+b+c)^3&=(a+(b+c))^3\\ &=a^3+3a^2(b+c)+3a(b+c)^2+(b+c)^3\\ &=a^3+3a^2(b+c)+3a(b+c)^2+b^3+3b^2c+3bc^2+c^3\\ &=a^3+b^3+c^3+3a^2(b+c)+3a(b+c)^2+3bc(b+c)\\ &=a^3+b^3+c^3+3(b+c)\left [a^2+a(b+c)+bc\right ]\\ &=a^3+b^3+c^3+3(b+c)\left [a^2+ab+ac+bc\right ]\\ &=a^3+b^3+c^3+3(b+c)\left [a(a+b)+c(a+b)\right ]\\ &=a^3+b^3+c^3+3(b+c)\left [(a+b)(a+c)\right ]\\ &=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)\\ (a+b+c)^3&-3(a+b)(a+c)(b+c)=a^3+b^3+c^3\\ \end{align*}\]

Terbukti bahwa 

\[\large \large \begin{align*} \color{DarkOrange}{ {a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(a+c)(b+c)}}\\ \end{align*}\]

Pembuktian Rumus Jumlah dan Selisih Fungsi Trigonometri

Berikut ini merupakan cara mengkonversi rumus jumlah dan selisih sudut menjadi rumus jumlah dan selisih Trigonometri.

Rumus Jumlah Sinus

Sebelumnya ingat kembali rumus Jumlah dan selisih sudut untuk sinus.

$\begin{align*} sin\left ( \alpha +\beta \right ) &= sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta\\ sin\left ( \alpha -\beta \right ) &= sin\alpha cos\beta -cos\alpha sin\beta \end{align*}$ 

Bila kedua persamaan ini di jumlahkan, maka akan diperoleh:

$\begin{align*} sin\left ( \alpha +\beta \right )+sin\left ( \alpha -\beta \right )&=sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta+sin\alpha cos\beta -cos\alpha sin\beta\\ sin\left ( \alpha +\beta \right )+sin\left ( \alpha -\beta \right )&=sin\alpha cos\beta +sin\alpha cos\beta\\ sin\left ( \alpha +\beta \right )+sin\left ( \alpha -\beta \right )&=2sin\alpha cos\beta \end{align*}$ 

Dengan memisalkan:

\(A=\alpha +\beta \) dan \(B=\alpha -\beta\)

Sehingga, 

$\begin{align*} A+B&=\alpha +\beta\ +\alpha -\beta \\ A+B&=\alpha+\alpha \\ A+B&= 2\alpha \\ \frac{A+B}{2}&=\alpha \end{align*}$ 

Dengan mensubstitusi nilai A dan B akan diperoleh:

$\begin{align*} sin\left ( \alpha +\beta \right )+sin\left ( \alpha -\beta \right )&=2sin\alpha cos\beta\\ sinA+sinB&=2sin\left ( \frac{A+B}{2} \right )cos\left ( \frac{A-B}{2} \right ) \end{align*}$ 

Dengan demikian diperoleh rumus jumlah fungsi sinus, yaitu:

\[sinA+sinB=2sin\left ( \frac{A+B}{2} \right )cos\left ( \frac{A-B}{2} \right )\]

Rumus Selisih Sinus

$\begin{align*} sin\left ( \alpha +\beta \right ) &= sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta\\ sin\left ( \alpha -\beta \right ) &= sin\alpha cos\beta -cos\alpha sin\beta \end{align*}$ 

Bila kedua persamaan ini di kurangkan, maka akan diperoleh:

$\begin{align*} sin\left ( \alpha +\beta \right )-sin\left ( \alpha -\beta \right )&=sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta-(sin\alpha cos\beta -cos\alpha sin\beta)\\ &=cos\alpha sin\beta +cos\alpha sin\beta\\ &=2cos\alpha sin\beta \end{align*}$ 

Dengan memisalkan:

\(A=\alpha +\beta \) dan \(B=\alpha -\beta\)

Sehingga, 

$\begin{align*} A+B&=\alpha +\beta\ +\alpha -\beta \\ A+B&=\alpha+\alpha \\ A+B&= 2\alpha \\ \frac{A+B}{2}&=\alpha \end{align*}$ 

Dengan mensubstitusi nilai A dan B akan diperoleh:

$\begin{align*} sin\left ( \alpha +\beta \right )-sin\left ( \alpha -\beta \right )&=2cos\alpha sin\beta\\ sinA-sinB&=2cos\left ( \frac{A+B}{2} \right )sin\left ( \frac{A-B}{2} \right ) \end{align*}$ 

Dengan demikian diperoleh rumus selisih fungsi sinus, yaitu:

\[sinA-sinB=2cos\left ( \frac{A+B}{2} \right )sin\left ( \frac{A-B}{2} \right )\]

Rumus Jumlah Kosinus

Sebelumnya ingat kembali rumus jumlah dan selisih sudut untuk kosinus.

$\begin{align*} cos\left ( \alpha +\beta \right ) &= cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta\\ cos\left ( \alpha -\beta \right ) &= cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta \end{align*}$ 

Bila kedua persamaan ini di jumlahkan, maka akan diperoleh:

$\begin{align*} cos\left ( \alpha +\beta \right )+cos\left ( \alpha -\beta \right )&=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta+cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta\\ &=cos\alpha cos\beta +cos\alpha cos\beta\\ &=2cos\alpha cos\beta \end{align*}$ 

Dengan memisalkan:

\(A=\alpha +\beta \) dan \(B=\alpha -\beta\)

Sehingga, 

$\begin{align*} A+B&=\alpha +\beta\ +\alpha -\beta \\ A+B&=\alpha+\alpha \\ A+B&= 2\alpha \\ \frac{A+B}{2}&=\alpha \end{align*}$ 

Dengan mensubstitusi nilai A dan B akan diperoleh:

$\begin{align*} cos\left ( \alpha +\beta \right )+cos\left ( \alpha -\beta \right )&=2cos\alpha cos\beta\\ cosA+cosB&=2cos\left ( \frac{A+B}{2} \right )cos\left ( \frac{A-B}{2} \right ) \end{align*}$ 

Dengan demikian diperoleh rumus jumlah fungsi kosinus, yaitu:

\[cosA+cosB=2cos\left ( \frac{A+B}{2} \right )cos\left ( \frac{A-B}{2} \right )\]

Rumus Selisih Kosinus

Sebelumnya ingat kembali rumus Jumlah dan selisih sudut untuk kosinus.

$\begin{align*} cos\left ( \alpha +\beta \right ) &= cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta\\ cos\left ( \alpha -\beta \right ) &= cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta \end{align*}$ 

Bila kedua persamaan ini di kurangkan, maka akan diperoleh:

$\begin{align*} cos\left ( \alpha +\beta \right )-cos\left ( \alpha -\beta \right )&=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta-(cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta)\\ &=-sin\alpha sin\beta -sin\alpha sin\beta\\ &=-2sin\alpha sin\beta \end{align*}$ 

Dengan memisalkan:

\(A=\alpha +\beta \) dan \(B=\alpha -\beta\)

Sehingga, 

$\begin{align*} A+B&=\alpha +\beta\ +\alpha -\beta \\ A+B&=\alpha+\alpha \\ A+B&= 2\alpha \\ \frac{A+B}{2}&=\alpha \end{align*}$ 

Dengan mensubstitusi nilai A dan B akan diperoleh:

$\begin{align*} cos\left ( \alpha +\beta \right )-cos\left ( \alpha -\beta \right )&=-2sin\alpha sin\beta\\ cosA-cosB&=-2sin\left ( \frac{A+B}{2} \right )sin\left ( \frac{A-B}{2} \right ) \end{align*}$ 

Dengan demikian diperoleh rumus selisih fungsi kosinus, yaitu:

\[cosA-cosB=-2sin\left ( \frac{A+B}{2} \right )sin\left ( \frac{A-B}{2} \right )\]

Pembuktian dan contoh soal Rumus jumlah dan selisih sudut Trigonometri

 

Download

Keunikan Angka Nol

 Sejarah angka nol

Angka nol pertama sekali ditemukan oleh Muḥammad bin Musa al-Khawarizmi, ia adalah seorang ahli matematika, astronomi, astrologi, dan geografi yang berasal dari Persia.

Angka nol ditemukan terakhir setelah angka 1, 2, ..., 9.

Itulah sebabnya dalam urutan angka selalu dimulai dengan 1 dan diakhiri dengan 0. 

Coba perhatikan beberapa kasus, di keyboard komputer penulisan angka selalu dimulai dengan angka 1 dan diakhiri dengan nol, ini merupakan sebuah bukti bahwa nol ditemukan terakhir kali.

Bedanya nol dengan kosong

Menyebutkan “Nol” atau “Kosong” pada dasarnya memiliki artian yang berbeda.

Setiap orang kalau menyebut nomor HP pasti dengan “kosong delapan .... “. Padahal ini salah. 0 itu dibaca “nol”. Bukan ‘kosong”. Yang benar itu adalah “nol delapan …”.

Dimana sih beda nol dan kosong?

Sebenarnya, kosong cenderung digunakan untuk menggambarkan suatu keadaan.

Misalnya: rumah yang tidak berpenghuni kita sebut “rumah kosong”. Ini menunjukkan keadaan rumah yang kosong.

Sedangkan kata nol bersifat bilangan. Misalnya, dalam penyebutan nomor HP tadi harusnya “nol delapan .... “ bukan "kosong delapan ....". 

Sifat-sifat (keunikan) angka nol

• Angka nol dinotaskan dengan “0” 

Ini menunjukkan sesuatu yang hampa, kosong namun mempunyai arti dan nilai. 

• 0 bukan bilangan positif, dan juga bukan bilangan negatif

Kalau begitu, nol itu dalam kategori mana? 

Nol itu masuk di dalam kategori “netral”. Bukan positif dan juga bukan negatif. Rasanya ini sebuah ketidakadilan bukan? Ada banyak bilangan negatif dan positif, sementara angka angka nol “netral” hanya ada satu. 

Demikian juga dalam realita kehidupan, orang yang “netral” itu cenderung jumlahnya sedikit dibanding orang yang berpihak. Sulit menemukan orang yang selalu netral dalam kondisi apapun. 

• Angka sebesar apapun kalau dikalikan dengan 0 hasilnya pasti 0. 

Tidak ada angka lain yang bisa seperti itu kecuali angka nol. Angka nol mampu menetralkan atau “menyucikan” angka lain yang dioperasikan dengannya. Ini menunjukkan sebuah jati diri yang tidak dapat dipengaruhi oleh siapa dan apapun. Kekuatan sebesar apapun tidak akan mampu menggoyah kenetralan atau “kesucian” bila kita memiliki jati diri yang kuat. 

• Angka sekecil apapun kalau dibagi 0 jadi besar tidak terhingga. 

Dalam hal pembagian bilangan, bila pembagi semakin kecil maka hasil pembagian akan semakin besar. Misalanya saja, 

1 : 1                  = 1

1 : 0,01             = 100 

1 : 0,00001       = 100000

Bayangkan saja bila 1 : 0,000000......1 maka hasilnya akan semakin besar atau ∞.

Ini menunjukkan, hasil pembagian yang semakin besar bila pembaginya mendekati 0 bahkan sama dengan 0. Saking besarnya, komputer secanggih apapun, tidak mampu menggambarkan hasil "∞" sebesar apa?. 

• Angka 0 dibagi dengan bilangan lainnya hasilnya pasti nol.

Namanya juga kosong (hampa) kalau dibagi-bagi pasti juga kosong. Omong kosong (hoax) bisa menyenyebar dengan cepat, namun hasilnya juga kosong.

• Angka 0 kalau ditambahkan dan dikurangi dengan bilangan apapun tidak akan mempengaruhi bilangan tersebut.

Angka 0 adalah identitas penjumlahan. Nol tidak mengubah bilangan apapun bila ditambah atau dikurangi nol.

Dalam keseharian, ibaratnya, jangan pernah berpikir mengubah (sifat) seseorang bila tidak ada niat dari dirinya sendiri. Perubahan akan terjadi bila ada kemauan dan usaha menuju kearah yang lebih baik dari pribadi seseorang. 

• Angka berapapun bila didampingi nol pasti semakin kuat.

Misal nih, bila angka 100 ditambahin angka 0 lagi maka jadi 1000. Coba bila uang Rp100.000.000 ditambahin angka 0 lagi, maka jumlah uangnya jadi sangat besar bukan? Sisi negatifnya sih, ini bisa jadi alasan untuk mengelembungkan dana (uang), bila ketahuan (misalnya niat korupsi) tinggal bilang saja salah input. Kayak kejadian kemarin-kemarin di ibukota tuh. Kalau dalam kehidupan, pilosofi angka nol ini adalah persatuan. Bila kekuatan kecil disatukan, maka paedahnya (dampaknya) sangat besar. Iya gak guis....?

• Angka sebesar apapun kalau dipangkatkan 0 pasti jadi 1. 

Bilangan yang sangat besar, bila dipangkat nol hasilnya pasti satu. Bayangkan saja bilangan yang sangat besar 9.999.999.9999.999.999.9999.... dipangkat nol pasti 1. Artinya tidak boleh ada kesombongan. Sehebat apapun, sekaya apapun, secantik/seganteng apapun, Bila berhadapan dengan 0 (netral) pasti tidak ada apa-apanya.

Dan masih banyak hal lain yang berkaitan dengan angka 0.

Sekian....!!!

diambil dari berbagai sumber